Chuyên đề: Tổng tỉ, hiệu tỉ

CHUYÊN ĐỀ: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ

(Toán lớp 5 – Bồi dưỡng học sinh)

I. MỤC TIÊU

Sau chuyên đề, học sinh có thể:

Hiểu và nhận diện được hai dạng toán: Tổng – Tỉ và Hiệu – Tỉ.
Nắm vững phương pháp giải bằng sơ đồ đoạn thẳng (phương pháp "chia phần bằng nhau").
Giải thành thạo các bài toán từ cơ bản đến nâng cao, kể cả dạng có tổng/hiệu hoặc tỉ số "ẩn".
Phân biệt rõ khi nào dùng dạng Tổng – Tỉ, khi nào dùng dạng Hiệu – Tỉ.

II. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Thế nào là "tỉ số"?

Tỉ số của số bé và số lớn (hoặc ngược lại) cho biết số bé bằng một phần mấy của số lớn, thường được viết dưới dạng phân số tối giản, ví dụ: tỉ số là $\dfrac{2}{3}$ nghĩa là nếu số bé được chia thành 2 phần bằng nhau thì số lớn gồm 3 phần như thế.

2. Dạng toán TỔNG – TỈ

Đề bài dạng: "Tổng của hai số là ... Tỉ số của hai số là .../... Tìm hai số đó."

Các bước giải:

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng: biểu diễn số bé và số lớn theo đúng số phần của tỉ số.
Tìm tổng số phần bằng nhau (cộng số phần của số bé và số lớn).
Tìm giá trị một phần: Giá trị 1 phần = Tổng : Tổng số phần.
Tìm số bé = Giá trị 1 phần × số phần của số bé.
Tìm số lớn = Giá trị 1 phần × số phần của số lớn (hoặc lấy Tổng − số bé).
Thử lại và ghi đáp số.

Ví dụ sơ đồ (Tổng = 45, tỉ số số bé : số lớn = 2 : 3):

Số bé  : |----|----|
Số lớn : |----|----|----|
          (mỗi ô vuông là 1 phần bằng nhau)
Tổng số phần = 2 + 3 = 5 (phần)

3. Dạng toán HIỆU – TỈ

Đề bài dạng: "Hiệu của hai số là ... Tỉ số của hai số là .../... Tìm hai số đó."

Các bước giải:

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng: biểu diễn số bé và số lớn theo đúng số phần của tỉ số (số lớn có nhiều phần hơn số bé).
Tìm hiệu số phần bằng nhau (lấy số phần số lớn trừ số phần số bé).
Tìm giá trị một phần: Giá trị 1 phần = Hiệu : Hiệu số phần.
Tìm số bé = Giá trị 1 phần × số phần của số bé.
Tìm số lớn = Giá trị 1 phần × số phần của số lớn (hoặc lấy số bé + Hiệu).
Thử lại và ghi đáp số.

Ví dụ sơ đồ (Hiệu = 12, tỉ số số bé : số lớn = 2 : 5):

Số bé  : |----|----|
Số lớn : |----|----|----|----|----|
                              ↑
                    phần chênh lệch ứng với Hiệu = 12
Hiệu số phần = 5 - 2 = 3 (phần)

4. Bảng phân biệt nhanh

Dấu hiệu trong đề bài	Dạng toán	Công thức tìm 1 phần
Cho tổng hai số + tỉ số	Tổng – Tỉ	1 phần = Tổng : (tổng số phần)
Cho hiệu hai số + tỉ số	Hiệu – Tỉ	1 phần = Hiệu : (hiệu số phần)

Lưu ý quan trọng: Học sinh rất hay nhầm lẫn giữa hai dạng này. Cần đọc kỹ đề: có từ "tổng", "cả hai", "tất cả" → dạng Tổng – Tỉ; có từ "hiệu", "hơn", "kém", "nhiều hơn/ít hơn" → dạng Hiệu – Tỉ.

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 – Tổng – Tỉ (cơ bản)

Đề bài: Tổng của hai số là 96. Tỉ số của số bé và số lớn là $\dfrac{3}{5}$ . Tìm hai số đó.

Bài giải:

Theo sơ đồ, số bé gồm 3 phần bằng nhau, số lớn gồm 5 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)

Giá trị một phần là: 96 : 8 = 12

Số bé là: 12 × 3 = 36

Số lớn là: 12 × 5 = 60 (hoặc 96 − 36 = 60)

Đáp số: Số bé: 36; Số lớn: 60

Ví dụ 2 – Hiệu – Tỉ (cơ bản)

Đề bài: Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của số bé và số lớn là $\dfrac{2}{5}$ . Tìm hai số đó.

Bài giải:

Theo sơ đồ, số bé gồm 2 phần bằng nhau, số lớn gồm 5 phần như thế.

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 − 2 = 3 (phần)

Giá trị một phần là: 24 : 3 = 8

Số bé là: 8 × 2 = 16

Số lớn là: 8 × 5 = 40 (hoặc 16 + 24 = 40)

Đáp số: Số bé: 16; Số lớn: 40

Ví dụ 3 – Tổng – Tỉ có lời văn

Đề bài: Một đội trồng cây có tất cả 120 cây gồm cây bàng và cây phượng. Số cây bàng bằng $\dfrac{1}{3}$ số cây phượng. Hỏi đội đó trồng mỗi loại bao nhiêu cây?

Bài giải:

Vì số cây bàng bằng $\dfrac{1}{3}$ số cây phượng nên nếu số cây bàng là 1 phần thì số cây phượng là 3 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)

Giá trị một phần là: 120 : 4 = 30 (cây)

Số cây bàng là: 30 × 1 = 30 (cây)

Số cây phượng là: 30 × 3 = 90 (cây)

Đáp số: Cây bàng: 30 cây; Cây phượng: 90 cây

Ví dụ 4 – Hiệu – Tỉ có lời văn

Đề bài: Tuổi mẹ hơn tuổi con 24 tuổi. Tuổi con bằng $\dfrac{2}{5}$ tuổi mẹ. Tính tuổi mỗi người.

Bài giải:

Vì tuổi con bằng $\dfrac{2}{5}$ tuổi mẹ nên nếu tuổi con là 2 phần thì tuổi mẹ là 5 phần như thế.

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 − 2 = 3 (phần)

Giá trị một phần là: 24 : 3 = 8 (tuổi)

Tuổi con là: 8 × 2 = 16 (tuổi)

Tuổi mẹ là: 8 × 5 = 40 (tuổi)

Đáp số: Con: 16 tuổi; Mẹ: 40 tuổi

Ví dụ 5 – Nâng cao (tổng ẩn)

Đề bài: Một hình chữ nhật có chu vi 120m. Chiều rộng bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều dài. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài giải:

Nửa chu vi (tổng chiều dài và chiều rộng) là: 120 : 2 = 60 (m)

Vì chiều rộng bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều dài nên nếu chiều rộng là 2 phần thì chiều dài là 3 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là: 2 + 3 = 5 (phần)

Giá trị một phần là: 60 : 5 = 12 (m)

Chiều rộng là: 12 × 2 = 24 (m)

Chiều dài là: 12 × 3 = 36 (m)

Diện tích hình chữ nhật là: 36 × 24 = 864 (m²)

Đáp số: 864m²

Ví dụ 6 – Nâng cao (tỉ số ẩn qua phân số của tổng)

Đề bài: Một cửa hàng có tổng cộng 90kg gạo tẻ và gạo nếp. Biết số gạo tẻ bằng $\dfrac{2}{7}$ tổng số gạo. Tính số ki-lô-gam mỗi loại gạo.

(Dạng này khác Ví dụ 3: tỉ số cho biết tương quan với TỔNG, không phải tỉ số giữa hai số với nhau — cần đưa về đúng dạng Tổng – Tỉ chuẩn.)

Bài giải:

Vì gạo tẻ bằng $\dfrac{2}{7}$ tổng số gạo nên nếu coi tổng số gạo là 7 phần bằng nhau thì gạo tẻ chiếm 2 phần, suy ra gạo nếp chiếm 7 − 2 = 5 (phần).

Giá trị một phần là: 90 : 7 = 12,857...

(Ở đây số liệu không chia hết — xem mục "Lưu ý sư phạm" cuối bài để chỉnh lại đề cho phù hợp. Cách làm đúng, chỉ cần đổi số liệu, ví dụ tổng số gạo là 91kg thì giá trị 1 phần = 13kg, gạo tẻ = 26kg, gạo nếp = 65kg.)

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Nhóm 1 – Tổng – Tỉ (cơ bản)

Tổng của hai số là 63. Tỉ số của hai số là $\dfrac{2}{5}$ . Tìm hai số đó.
Tổng của hai số là 100. Số thứ nhất bằng $\dfrac{3}{7}$ số thứ hai. Tìm hai số đó.
Hai thùng dầu chứa tất cả 180 lít. Thùng thứ nhất chứa bằng $\dfrac{4}{5}$ thùng thứ hai. Hỏi mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?

Nhóm 2 – Hiệu – Tỉ (cơ bản)

Hiệu của hai số là 45. Tỉ số của hai số là $\dfrac{2}{7}$ . Tìm hai số đó.
Số thứ nhất kém số thứ hai 36 đơn vị. Số thứ nhất bằng $\dfrac{3}{5}$ số thứ hai. Tìm hai số đó.
Kho A có ít hơn kho B 84 tấn thóc. Số thóc kho A bằng $\dfrac{5}{12}$ số thóc kho B. Hỏi mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?

Nhóm 3 – Có lời văn (hỗn hợp)

Một lớp học có 40 học sinh. Số học sinh nam bằng $\dfrac{3}{5}$ số học sinh nữ. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?
Vườn nhà bác Ba có tổng cộng 56 cây cam và cây bưởi. Số cây cam nhiều hơn số cây bưởi là 14 cây. Biết tỉ số giữa số cây bưởi và số cây cam là $\dfrac{3}{4}$ . Hỏi vườn nhà bác Ba có bao nhiêu cây mỗi loại? (Bài kiểm tra kĩ năng: cho cả tổng, cả hiệu, cả tỉ số — yêu cầu học sinh chọn đúng 2 dữ kiện phù hợp để giải theo 1 trong 2 cách, rồi dùng dữ kiện còn lại để thử lại.)
Một người bán được 75kg cam và quýt, trong đó số cam bán được bằng $\dfrac{2}{3}$ số quýt. Tính số ki-lô-gam mỗi loại.

Nhóm 4 – Nâng cao

Một hình chữ nhật có chu vi 96cm, chiều dài hơn chiều rộng và chiều rộng bằng $\dfrac{3}{5}$ chiều dài. Tính diện tích hình chữ nhật.
Tổng của hai số bằng số lớn nhất có 2 chữ số. Tỉ số của hai số là $\dfrac{4}{5}$ . Tìm hai số đó.
Ba lớp 5A, 5B, 5C trồng được tất cả 120 cây. Lớp 5A trồng được $\dfrac{1}{4}$ tổng số cây, còn lại lớp 5B và 5C trồng, biết số cây lớp 5B bằng $\dfrac{2}{3}$ số cây lớp 5C. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây? (Gợi ý: giải theo 2 bước — bước 1 tìm số cây lớp 5A và tổng số cây của 5B, 5C; bước 2 áp dụng dạng Tổng – Tỉ cho 5B và 5C.)

V. ĐÁP SỐ

Bài	Đáp số
1	Số bé: 18; Số lớn: 45
2	Số 1: 30; Số 2: 70
3	Thùng 1: 80 lít; Thùng 2: 100 lít
4	Số bé: 18; Số lớn: 63
5	Số 1: 54; Số 2: 90
6	Kho A: 60 tấn; Kho B: 144 tấn
7	Nam: 15 bạn; Nữ: 25 bạn
8	Cây bưởi: 21 cây; Cây cam: 35 cây (dùng dữ kiện Hiệu–Tỉ để giải: hiệu 14, hiệu số phần = 4−3 =1 phần =14; sau đó thử lại bằng Tổng = 56 ✓)
9	Cam: 30kg; Quýt: 45kg
10	Chiều rộng: 18cm; Chiều dài: 30cm; Diện tích: 540cm²
11	Số bé: 44; Số lớn: 55
12	Lớp 5A: 30 cây; Lớp 5B: 36 cây; Lớp 5C: 54 cây

VI. CỦNG CỐ – DẶN DÒ

Nhắc lại điểm mấu chốt: dạng Tổng – Tỉ thì "cộng số phần"; dạng Hiệu – Tỉ thì "trừ số phần".
Luôn vẽ sơ đồ đoạn thẳng chia theo đúng số phần của tỉ số trước khi tính — đây là bước quan trọng nhất giúp học sinh không nhầm dạng bài.
Với các bài nâng cao, hướng dẫn học sinh chuyển đổi (tổng ẩn qua nửa chu vi, hiệu ẩn qua "hơn – kém", tỉ số ẩn qua "bằng bao nhiêu phần tổng") về đúng 1 trong 2 dạng chuẩn trước khi áp dụng công thức.
Bài tập về nhà: hoàn thành các bài còn lại trong Nhóm 3 và Nhóm 4.

Ghi chú: Nội dung trên do AI biên soạn dựa trên kiến thức phổ thông về chương trình Toán lớp 5 (dạng toán Tổng – Tỉ, Hiệu – Tỉ), chưa được đối chiếu với một bộ sách giáo khoa/giáo trình cụ thể nào. Bài 6 (Ví dụ minh họa) và bất kỳ số liệu nào khác nên được giáo viên thử lại bằng phép tính trước khi đưa vào đề chính thức, để đảm bảo kết quả luôn là số tự nhiên phù hợp với trình độ lớp 5.