Chuyên đề: Phân số và các phép toán về phân số

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN SỐ

(Toán lớp 5 – Bồi dưỡng học sinh)

I. MỤC TIÊU

Sau chuyên đề, học sinh có thể:

Củng cố khái niệm phân số, phân số bằng nhau, rút gọn phân số, quy đồng mẫu số.
So sánh được hai phân số (cùng mẫu số, khác mẫu số, so sánh với 1, so sánh phần bù).
Thực hiện thành thạo bốn phép tính: cộng, trừ, nhân, chia phân số.
Vận dụng giải các bài toán có lời văn liên quan đến phân số.

II. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khái niệm phân số

Phân số $\dfrac{a}{b}$ (b ≠ 0) gồm tử số a và mẫu số b. Mẫu số cho biết đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau; tử số cho biết đã lấy bao nhiêu phần như thế.

2. Tính chất cơ bản của phân số

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho:
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n} \quad (n \ne 0)$
Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho:
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : n}{b : n} \quad (n \ne 0)$

3. Rút gọn phân số

Chia cả tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng để được phân số tối giản.

Ví dụ: $\dfrac{18}{24}$ : ƯCLN(18, 24) = 6 → $\dfrac{18:6}{24:6} = \dfrac{3}{4}$

4. Quy đồng mẫu số

Đưa hai (hay nhiều) phân số về cùng một mẫu số chung (thường là bội chung nhỏ nhất - BCNN của các mẫu số) mà giá trị phân số không đổi.

Ví dụ: Quy đồng $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{3}{4}$ : mẫu số chung = 12

\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12} \qquad \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}

5. So sánh phân số

Cùng mẫu số: phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Khác mẫu số: quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số (hoặc quy đồng tử số).
So sánh với 1: phân số có tử số bé hơn mẫu số thì bé hơn 1; tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1; tử số bằng mẫu số thì bằng 1.
So sánh phần bù (khi tử số kém mẫu số một số đơn vị như nhau ở cả hai phân số): phân số nào có phần bù bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

6. Phép cộng, trừ phân số

Trường hợp	Quy tắc
Cùng mẫu số	Cộng (trừ) tử số, giữ nguyên mẫu số: $\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$
Khác mẫu số	Quy đồng mẫu số rồi cộng (trừ) như trên

7. Phép nhân phân số

Nhân tử số với tử số, nhân mẫu số với mẫu số:

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

(Nên rút gọn trước khi nhân nếu có thể, để số nhỏ, dễ tính.)

8. Phép chia phân số

Muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân số bị chia với phân số đảo ngược của số chia:

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}

9. Phân số và số tự nhiên, hỗn số

Số tự nhiên $n$ có thể viết thành phân số $\dfrac{n}{1}$ .
Hỗn số $a\dfrac{b}{c}$ (a là phần nguyên) đổi ra phân số: $a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}$

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 – Rút gọn và so sánh

Đề bài: So sánh hai phân số $\dfrac{4}{6}$ và $\dfrac{9}{12}$ .

Bài giải:

Rút gọn: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$

Quy đồng mẫu số: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ ; $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$

Vì $\dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12}$ nên $\dfrac{4}{6} < \dfrac{9}{12}$

Ví dụ 2 – Cộng, trừ phân số khác mẫu số

Đề bài: Tính $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5}$

Bài giải:

Mẫu số chung là 20:

\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20} \qquad \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}

\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}

Ví dụ 3 – Nhân phân số

Đề bài: Tính $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$

Bài giải:

\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}

(Có thể rút gọn ngay từ đầu: 4 và 8 cùng chia hết cho 4; 3 và 9 cùng chia hết cho 3 → $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$ , tính nhanh hơn.)

Ví dụ 4 – Chia phân số

Đề bài: Tính $\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{3}$

Bài giải:

\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}

Ví dụ 5 – Bài toán có lời văn

Đề bài: Một tấm vải dài 24m. Người ta đã cắt đi $\dfrac{3}{8}$ tấm vải đó để may quần áo. Hỏi tấm vải còn lại dài bao nhiêu mét?

Bài giải:

Số mét vải đã cắt là: $24 \times \dfrac{3}{8} = 9$ (m)

Số mét vải còn lại là: $24 - 9 = 15$ (m)

Đáp số: 15m

Ví dụ 6 – Bài toán có lời văn (chia phân số)

Đề bài: Một người có $\dfrac{4}{5}$ tấn gạo, đem chia đều vào các bao, mỗi bao chứa $\dfrac{2}{15}$ tấn gạo. Hỏi chia được bao nhiêu bao?

Bài giải:

Số bao gạo chia được là: $\dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{15} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{15}{2} = \dfrac{60}{10} = 6$ (bao)

Đáp số: 6 bao

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Nhóm 1 – Rút gọn, quy đồng, so sánh

Rút gọn các phân số sau: $\dfrac{15}{20}$ ; $\dfrac{28}{35}$ ; $\dfrac{36}{48}$
Quy đồng mẫu số các phân số: $\dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{3}{7}$
So sánh các cặp phân số sau: $\dfrac{5}{8}$ và $\dfrac{7}{12}$ ; $\dfrac{9}{10}$ và $\dfrac{11}{12}$
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn: $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{5}{6}$ ; $\dfrac{7}{8}$

Nhóm 2 – Bốn phép tính

Tính: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}$
Tính: $\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{4}$
Tính: $\dfrac{5}{9} \times \dfrac{3}{10}$
Tính: $\dfrac{7}{12} : \dfrac{5}{6}$
Tính giá trị biểu thức: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}$
Tính giá trị biểu thức: $\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{1}{4}$

Nhóm 3 – Có lời văn

Một lớp học có $\dfrac{3}{5}$ số học sinh là học sinh nữ, còn lại là học sinh nam. Hỏi số học sinh nam chiếm bao nhiêu phần số học sinh cả lớp?
Bạn Lan đọc một quyển sách trong 2 ngày. Ngày thứ nhất đọc được $\dfrac{2}{5}$ quyển sách, ngày thứ hai đọc được $\dfrac{1}{3}$ quyển sách. Hỏi Lan còn phải đọc bao nhiêu phần quyển sách nữa mới hết?
Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài $\dfrac{4}{5}$ m, chiều rộng $\dfrac{1}{2}$ m. Tính diện tích khu vườn đó.
Một ô tô đi từ A đến B hết $\dfrac{3}{4}$ giờ, biết vận tốc ô tô là 48km/giờ. Tính quãng đường AB.

Nhóm 4 – Nâng cao

Tìm x, biết: $x + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}$
Tìm x, biết: $x \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{10}$
Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ . Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và giữ nguyên mẫu số thì được phân số $\dfrac{2}{7}$ . Biết mẫu số ban đầu là 7. Tìm phân số ban đầu.
Không quy đồng, hãy so sánh hai phân số $\dfrac{2020}{2021}$ và $\dfrac{2021}{2022}$ (gợi ý: so sánh phần bù đến 1).

V. ĐÁP SỐ

Bài	Đáp số
1	$\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{4}{5}$ ; $\dfrac{3}{4}$
2	$\dfrac{14}{35}$ và $\dfrac{15}{35}$
3	$\dfrac{5}{8} > \dfrac{7}{12}$ ; $\dfrac{9}{10} < \dfrac{11}{12}$
4	$\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{7}{8}$
5	$\dfrac{3}{2}$
6	$\dfrac{1}{8}$
7	$\dfrac{1}{6}$
8	$\dfrac{7}{10}$
9	$\dfrac{13}{12}$
10	2
11	$\dfrac{2}{5}$ số học sinh cả lớp
12	$\dfrac{4}{15}$ quyển sách
13	$\dfrac{2}{5}$ m²
14	36km
15	$x = \dfrac{1}{6}$
16	$x = \dfrac{6}{5}$
17	$\dfrac{5}{7}$
18	$\dfrac{2020}{2021} < \dfrac{2021}{2022}$ (phần bù lần lượt là $\dfrac{1}{2021}$ và $\dfrac{1}{2022}$ ; vì $\dfrac{1}{2021} > \dfrac{1}{2022}$ nên phân số có phần bù lớn hơn thì bé hơn)

VI. CỦNG CỐ – DẶN DÒ

Ôn lại 4 quy tắc: cộng, trừ, nhân, chia phân số — đặc biệt lưu ý phép chia phải đảo ngược phân số thứ hai rồi nhân, đây là lỗi học sinh hay nhầm với phép nhân.
Nhấn mạnh thói quen rút gọn phân số trước và sau khi tính để kết quả gọn, đúng dạng tối giản.
Với bài toán so sánh phân số nâng cao (Nhóm 4, bài 18), khuyến khích học sinh giỏi tìm cách so sánh không cần quy đồng (so sánh phần bù, phần hơn) để rèn tư duy linh hoạt.
Bài tập về nhà: hoàn thành các bài còn lại trong Nhóm 3 và Nhóm 4.

Ghi chú: Nội dung trên do AI biên soạn dựa trên kiến thức phổ thông về chương trình Toán lớp 5 (chủ đề phân số), chưa được đối chiếu với một bộ sách giáo khoa/giáo trình cụ thể nào (ví dụ: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều có thể trình bày thứ tự nội dung khác nhau). Đề nghị giáo viên kiểm tra lại số liệu, đối chiếu với phân phối chương trình của trường trước khi sử dụng chính thức.