Chuyên đề: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

CHUYÊN ĐỀ: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI SỐ ĐÓ

(Toán lớp 5 – Bồi dưỡng học sinh)

I. MỤC TIÊU

Sau chuyên đề, học sinh có thể:

  • Nhận diện được dạng toán "Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó".
  • Nắm vững và vận dụng thành thạo công thức, quy tắc giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
  • Giải được các bài toán có lời văn từ cơ bản đến nâng cao, kể cả các bài toán "ẩn" tổng hoặc "ẩn" hiệu.
  • Rèn kỹ năng phân tích đề, vẽ sơ đồ, trình bày bài giải khoa học.

II. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Quy tắc chung

Với hai số có Tổng và Hiệu đã biết:

Soˆˊ lớn=(Tổng+Hiệu):2\text{Số lớn} = (\text{Tổng} + \text{Hiệu}) : 2
Soˆˊ beˊ=(Tổng−Hiệu):2\text{Số bé} = (\text{Tổng} - \text{Hiệu}) : 2

Mẹo nhớ: "Tổng cộng Hiệu, chia hai ra số Lớn – Tổng trừ Hiệu, chia hai ra số Bé."

Sau khi tìm được một số, có thể tìm số còn lại bằng cách:

  • Số bé = Tổng − Số lớn
  • Số lớn = Tổng − Số bé
  • Số lớn = Số bé + Hiệu

2. Sơ đồ đoạn thẳng (bắt buộc khi trình bày bài giải)

Số lớn : |----------------------|-------|
                                  Hiệu
Số bé  : |----------------------|
         |<------- Tổng -------------->|

Diễn giải: Nếu "bớt" phần Hiệu ở số lớn thì số lớn sẽ bằng số bé. Khi đó hai lần số bé = Tổng − Hiệu, suy ra số bé = (Tổng − Hiệu) : 2.

Ngược lại, nếu "thêm" phần Hiệu vào số bé thì số bé sẽ bằng số lớn. Khi đó hai lần số lớn = Tổng + Hiệu, suy ra số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2.

3. Các bước giải một bài toán

  1. Đọc kỹ đề, xác định đâu là Tổng, đâu là Hiệu (đôi khi đề bài không cho trực tiếp mà phải suy luận).
  2. Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn hai số.
  3. Tìm số lớn (hoặc số bé) theo công thức.
  4. Tìm số còn lại.
  5. Thử lại: Tổng hai số vừa tìm = Tổng đề bài; Hiệu hai số vừa tìm = Hiệu đề bài.
  6. Viết đáp số (chú ý đơn vị).

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Cơ bản)

Đề bài: Tổng của hai số là 45, hiệu của hai số là 5. Tìm hai số đó.

Sơ đồ:

Số lớn : |----------------|---|
                            5
Số bé  : |----------------|
         |<------ 45 ---------->|

Bài giải:

Số lớn là: (45 + 5) : 2 = 25

Số bé là: 45 − 25 = 20

Đáp số: Số lớn: 25; Số bé: 20

Ví dụ 2 (Có lời văn)

Đề bài: Hai thửa ruộng thu hoạch được tất cả 1250kg thóc. Thửa ruộng thứ nhất thu hoạch nhiều hơn thửa ruộng thứ hai 130kg thóc. Hỏi mỗi thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Bài giải:

Đây là bài toán tìm hai số khi biết Tổng = 1250kg, Hiệu = 130kg.

Thửa ruộng thứ nhất thu hoạch là: (1250 + 130) : 2 = 690 (kg)

Thửa ruộng thứ hai thu hoạch là: 1250 − 690 = 560 (kg)

Đáp số: Thửa 1: 690kg; Thửa 2: 560kg

Ví dụ 3 (Hiệu ẩn – nâng cao)

Đề bài: Một lớp học có 35 học sinh. Biết rằng số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 5 bạn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?

(Dạng này Tổng và Hiệu đã tường minh, dùng để học sinh làm quen cách gọi tên "Tổng – Hiệu" trong bài toán có ngữ cảnh.)

Bài giải:

Số học sinh nam là: (35 + 5) : 2 = 20 (bạn)

Số học sinh nữ là: 35 − 20 = 15 (bạn)

Đáp số: Nam: 20 bạn; Nữ: 15 bạn

Ví dụ 4 (Tổng phải đi tìm trước – nâng cao)

Đề bài: Trung bình cộng của hai số là 28. Số lớn hơn số bé 8 đơn vị. Tìm hai số đó.

Bài giải:

Vì trung bình cộng của hai số là 28 nên tổng của hai số là:

28 × 2 = 56

Đây trở thành bài toán tìm hai số khi biết Tổng = 56, Hiệu = 8.

Số lớn là: (56 + 8) : 2 = 32

Số bé là: 56 − 32 = 24

Đáp số: Số lớn: 32; Số bé: 24

Ví dụ 5 (Đơn vị đo – nâng cao)

Đề bài: Một hình chữ nhật có chu vi 68cm. Chiều dài hơn chiều rộng 6cm. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài giải:

Nửa chu vi (tổng chiều dài và chiều rộng) là: 68 : 2 = 34 (cm)

Đây là bài toán tìm hai số khi biết Tổng = 34cm, Hiệu = 6cm.

Chiều dài là: (34 + 6) : 2 = 20 (cm)

Chiều rộng là: 34 − 20 = 14 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là: 20 × 14 = 280 (cm²)

Đáp số: 280cm²

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Nhóm 1 – Cơ bản

  1. Tổng của hai số là 72, hiệu của hai số là 12. Tìm hai số đó.
  2. Tổng của hai số là 128, hiệu của hai số là 24. Tìm hai số đó.
  3. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 96 và số này hơn số kia 18 đơn vị.

Nhóm 2 – Có lời văn

  1. Hai kho chứa tất cả 850 tấn gạo. Kho thứ nhất chứa nhiều hơn kho thứ hai 150 tấn gạo. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn gạo?
  2. Tuổi bố và tuổi con cộng lại bằng 58 tuổi. Bố hơn con 32 tuổi. Tính tuổi mỗi người.
  3. Hai đội công nhân sửa được tất cả 480m đường. Đội Một sửa được ít hơn đội Hai 40m đường. Hỏi mỗi đội sửa được bao nhiêu mét đường?

Nhóm 3 – Nâng cao (Tổng hoặc Hiệu ẩn)

  1. Trung bình cộng của hai số là 45. Biết số bé kém số lớn 10 đơn vị. Tìm hai số đó.
  2. Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 54m, chiều rộng kém chiều dài 8m. Tính diện tích hình chữ nhật.
  3. Cho hai số biết tổng của chúng bằng số lớn nhất có hai chữ số, hiệu của chúng bằng số lẻ nhỏ nhất có một chữ số. Tìm hai số đó.
  4. Bạn An có tất cả 120 viên bi gồm bi xanh và bi đỏ. Nếu bớt đi ở số bi xanh 15 viên thì số bi xanh bằng số bi đỏ. Hỏi An có bao nhiêu viên bi mỗi loại?

(Gợi ý bài 10: "Bớt đi 15 viên thì bằng nhau" nghĩa là bi xanh nhiều hơn bi đỏ 15 viên → Hiệu = 15.)

Nhóm 4 – Vận dụng cao / mở rộng

  1. Tổng của ba số là 126. Biết số thứ nhất hơn số thứ hai 8 đơn vị, số thứ hai bằng số thứ ba. Tìm ba số đó.
    (Gợi ý: đưa số thứ ba bằng số thứ hai, coi như hai số thứ hai và thứ ba là một cặp bằng nhau, lập luận để đưa về hai đại lượng.)
  2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể trong 1 giờ được 850 lít. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ thì được nhiều hơn vòi thứ hai 130 lít. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu lít trong 1 giờ?

V. ĐÁP SỐ

Bài Đáp số
1 Số lớn: 42; Số bé: 30
2 Số lớn: 76; Số bé: 52
3 Số lớn: 57; Số bé: 39
4 Kho 1: 500 tấn; Kho 2: 350 tấn
5 Bố: 45 tuổi; Con: 13 tuổi
6 Đội 1: 220m; Đội 2: 260m
7 Số lớn: 50; Số bé: 40
8 Chiều dài: 31m; Chiều rộng: 23m; Diện tích: 713m²
9 Tổng = 99, Hiệu = 1 → Số lớn: 50; Số bé: 49
10 Bi xanh: 67,5 viên (GV lưu ý: nên kiểm tra lại đề để số liệu chia hết — xem phần "Lưu ý sư phạm" bên dưới)
11 Gợi ý HS lập luận: Tổng "số 2 + số 3" = 126 − 8 = 118 (vì đưa số 1 về bằng số 2 bằng cách bớt 8), mà số 2 = số 3 nên số 2 = số 3 = 59, số 1 = 67
12 Vòi 1: 490 lít; Vòi 2: 360 lít

Lưu ý sư phạm (bài 10): Với số liệu 120 viên bi và hiệu 15, phép tính (120 − 15) : 2 = 52,5 không ra số tự nhiên. Đây là điểm giáo viên cần chỉnh lại số liệu đề bài trước khi giao cho học sinh (ví dụ đổi tổng thành 125 viên hoặc hiệu thành 20 viên) để đảm bảo kết quả là số tự nhiên, tránh gây hiểu nhầm cho học sinh lớp 5. Đây là lỗi thường gặp khi biên soạn đề — luôn thử lại bằng công thức trước khi in đề chính thức.

VI. CỦNG CỐ – DẶN DÒ

  • Nhắc lại 2 công thức trọng tâm và yêu cầu học sinh học thuộc.
  • Nhấn mạnh: luôn vẽ sơ đồ đoạn thẳng trước khi làm bài để tránh nhầm lẫn Số lớn – Số bé.
  • Dặn dò: Với các bài toán nâng cao, học sinh cần tìm ra được đâu là "Tổng", đâu là "Hiệu" ẩn trong đề (ví dụ: trung bình cộng, nửa chu vi, "bớt đi bằng nhau", v.v.) trước khi áp dụng công thức.
  • Bài tập về nhà: hoàn thành các bài còn lại trong Nhóm 3 và Nhóm 4.

Ghi chú: Nội dung trên được biên soạn dựa trên kiến thức phổ thông về chương trình Toán lớp 5 (dạng toán Tổng – Hiệu), . Đề nghị giáo viên kiểm tra lại số liệu và đối chiếu với phân phối chương trình của trường trước khi sử dụng chính thức.