Chuyên đề: Số tự nhiên và cấu tạo số

CHUYÊN ĐỀ: SỐ TỰ NHIÊN VÀ CẤU TẠO SỐ

(Toán lớp 5 – Bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 6 chất lượng cao)

I. MỤC TIÊU

Sau chuyên đề, học sinh có thể:

Hiểu rõ cấu tạo thập phân của số tự nhiên: hàng, lớp, giá trị của mỗi chữ số theo vị trí.
Nắm vững khái niệm số liền trước, số liền sau, dãy số tự nhiên liên tiếp, dãy số cách đều và các công thức tính số số hạng, tổng của dãy số cách đều.
Thuộc và vận dụng thành thạo các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 8, 9, 25.
Giải được các bài toán "tìm số tự nhiên" kết hợp cấu tạo số với điều kiện chia hết – dạng bài rất hay gặp trong đề thi tuyển sinh lớp 6 chất lượng cao.
Biết lập số lớn nhất, số nhỏ nhất từ các chữ số cho trước (có thể lặp lại hoặc không lặp lại).

II. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Cấu tạo thập phân của số tự nhiên

Mỗi số tự nhiên được viết bằng các chữ số từ 0 đến 9, xếp theo các hàng (đơn vị, chục, trăm, nghìn,...). Cứ ba hàng liên tiếp (từ phải sang) hợp thành một lớp:

Lớp triệu			Lớp nghìn			Lớp đơn vị
Trăm triệu	Chục triệu	Triệu	Trăm nghìn	Chục nghìn	Nghìn	Trăm	Chục	Đơn vị

Với số có ba chữ số $\overline{abc}$ (a khác 0):

\overline{abc} = a \times 100 + b \times 10 + c

Tương tự, với số có bốn chữ số $\overline{abcd}$ (a khác 0):

\overline{abcd} = a \times 1000 + b \times 100 + c \times 10 + d

Lưu ý: giá trị của một chữ số phụ thuộc vào vị trí (hàng) mà nó đứng. Ví dụ chữ số 3 ở hàng trăm trong số 348 có giá trị 300, nhưng ở hàng chục trong số 235 chỉ có giá trị 30.

2. Số liền trước, số liền sau, dãy số cách đều

Số liền sau của một số tự nhiên $a$ là $a + 1$ .
Số liền trước của một số tự nhiên $a$ (với $a > 0$ ) là $a - 1$ . Số 0 không có số liền trước trong tập số tự nhiên.
Dãy số tự nhiên liên tiếp là dãy các số hơn kém nhau đúng 1 đơn vị: $a, a+1, a+2, \ldots$
Dãy số cách đều là dãy số mà hai số hạng liên tiếp luôn hơn kém nhau một số không đổi $d$ (gọi là khoảng cách).

Với dãy số cách đều có số hạng đầu là $a_1$ , số hạng cuối là $a_n$ , khoảng cách $d$ :

\text{Số số hạng: } n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1

\text{Tổng của dãy số: } S = \dfrac{(a_1 + a_n) \times n}{2}

Trường hợp riêng thường gặp nhất là dãy các số tự nhiên liên tiếp ( $d = 1$ ).

3. Các dấu hiệu chia hết thường gặp

Chia hết cho	Dấu hiệu nhận biết
2	Chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 (số chẵn)
5	Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
3	Tổng các chữ số chia hết cho 3
9	Tổng các chữ số chia hết cho 9
4	Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4
8	Số tạo bởi ba chữ số tận cùng chia hết cho 8
25	Hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hoặc 75

Nhận xét cần nhớ:

Một số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó vừa chia hết cho 9, vừa chia hết cho 5 (vì $45 = 9 \times 5$ , và 9, 5 không có ước chung nào khác 1).
Tương tự, chia hết cho 15 $\Leftrightarrow$ chia hết cho 3 và cho 5; chia hết cho 72 $\Leftrightarrow$ chia hết cho 8 và cho 9;...
Số chia hết cho 2 và 5 đồng thời thì chia hết cho 10 (tận cùng là 0).

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1 – Tìm số tự nhiên theo cấu tạo, kết hợp điều kiện chia hết. Đặt số cần tìm dưới dạng $\overline{abc}$ , $\overline{a1b}$ ,... rồi dùng dấu hiệu chia hết để lập điều kiện cho từng chữ số, sau đó thử các giá trị hợp lệ (chữ số từ 0 đến 9, chữ số đầu khác 0).

Dạng 2 – Viết thêm (hoặc bớt) một chữ số vào một số. Viết thêm chữ số $x$ vào bên phải số $A$ được số mới $\overline{Ax} = 10 \times A + x$ . Viết thêm vào bên trái thì tùy số chữ số của $A$ (ví dụ thêm $x$ vào bên trái số có 3 chữ số $A$ được số mới $1000x + A$ ).

Dạng 3 – Lập số lớn nhất/nhỏ nhất từ các chữ số cho trước. Muốn số lớn nhất: xếp các chữ số giảm dần. Muốn số nhỏ nhất: xếp tăng dần, nhưng nếu có chữ số 0 thì phải đưa chữ số khác 0 nhỏ nhất lên đầu (hàng cao nhất không được là 0), rồi mới đến 0 và các chữ số còn lại.

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 – Cấu tạo số kết hợp dấu hiệu chia hết cho 9

Đề bài: Tìm chữ số $a$ để số $\overline{7a5}$ chia hết cho 9.

Bài giải:

Số $\overline{7a5}$ chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Tổng các chữ số là: $7 + a + 5 = 12 + a$ .

Vì $a$ là một chữ số ( $0 \le a \le 9$ ) nên $12 + a$ chạy từ 12 đến 21. Trong khoảng này, số duy nhất chia hết cho 9 là 18.

Vậy $12 + a = 18 \Rightarrow a = 6$ .

Số cần tìm là 765 (kiểm tra: $765 : 9 = 85$ , đúng).

Đáp số: $a = 6$ , số đó là 765.

Ví dụ 2 – Dãy số cách đều

Đề bài: Tính tổng của dãy số: $3, 7, 11, 15, \ldots, 199$ .

Bài giải:

Đây là dãy số cách đều với số hạng đầu $a_1 = 3$ , số hạng cuối $a_n = 199$ , khoảng cách $d = 4$ .

Số số hạng của dãy: $n = (199 - 3) : 4 + 1 = 196 : 4 + 1 = 49 + 1 = 50$ (số hạng).

Tổng của dãy số: $S = (3 + 199) \times 50 : 2 = 202 \times 50 : 2 = 10100 : 2 = 5050$ .

Đáp số: 5050.

Ví dụ 3 – Số tự nhiên liên tiếp

Đề bài: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tổng của chúng bằng 2019.

Bài giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $a - 1$ , $a$ , $a + 1$ (với $a$ là số ở giữa).

Tổng ba số đó là: $(a - 1) + a + (a + 1) = 3 \times a$ .

Theo đề bài: $3 \times a = 2019 \Rightarrow a = 2019 : 3 = 673$ .

Vậy ba số cần tìm là 672, 673, 674.

Kiểm tra: $672 + 673 + 674 = 2019$ (đúng).

Đáp số: 672, 673, 674.

Ví dụ 4 – Cấu tạo số kết hợp chia hết cho 45 (dạng có nhiều đáp số)

Đề bài: Tìm số tự nhiên có dạng $\overline{a1b}$ (với $a \ne 0$ ) biết số đó chia hết cho 45.

Bài giải:

Vì $45 = 9 \times 5$ nên số $\overline{a1b}$ phải vừa chia hết cho 9, vừa chia hết cho 5.

Điều kiện chia hết cho 5: chữ số tận cùng $b = 0$ hoặc $b = 5$ .

Điều kiện chia hết cho 9: tổng các chữ số $a + 1 + b$ chia hết cho 9.

Trường hợp 1: $b = 0$ . Khi đó $a + 1$ chia hết cho 9. Vì $1 \le a \le 9$ nên $a + 1$ chạy từ 2 đến 10, do đó $a + 1 = 9 \Rightarrow a = 8$ . Ta được số 810 (kiểm tra: $810 : 45 = 18$ ).

Trường hợp 2: $b = 5$ . Khi đó $a + 6$ chia hết cho 9. Vì $a + 6$ chạy từ 7 đến 15, nên $a + 6 = 9 \Rightarrow a = 3$ . Ta được số 315 (kiểm tra: $315 : 45 = 7$ ).

Đáp số: Số cần tìm là 315 hoặc 810.

Ví dụ 5 – Lập số lớn nhất, số nhỏ nhất từ các chữ số cho trước

Đề bài: Cho bốn chữ số 0, 3, 5, 8. Hãy lập số tự nhiên lớn nhất và số tự nhiên nhỏ nhất có đủ bốn chữ số đó (mỗi chữ số dùng đúng một lần).

Bài giải:

Số lớn nhất: xếp các chữ số theo thứ tự giảm dần: 8, 5, 3, 0 $\Rightarrow$ số lớn nhất là 8530.

Số nhỏ nhất: xếp các chữ số theo thứ tự tăng dần, nhưng vì chữ số hàng nghìn không được là 0, ta đưa chữ số khác 0 nhỏ nhất (là 3) lên đầu, rồi đến 0, 5, 8 $\Rightarrow$ số nhỏ nhất là 3058.

Đáp số: Số lớn nhất là 8530; số nhỏ nhất là 3058.

Ví dụ 6 (Nâng cao) – Viết thêm chữ số vào một số

Đề bài: Cho một số tự nhiên có ba chữ số. Nếu viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó, ta được số mới hơn số ban đầu 1229 đơn vị. Tìm số tự nhiên đó.

Bài giải:

Gọi số cần tìm là $A$ . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải $A$ , ta được số mới là $\overline{A5} = 10 \times A + 5$ .

Theo đề bài: $(10 \times A + 5) - A = 1229$ , tức là $9 \times A + 5 = 1229$ .

Suy ra $9 \times A = 1229 - 5 = 1224$ , do đó $A = 1224 : 9 = 136$ .

Kiểm tra: viết thêm chữ số 5 vào bên phải 136 được 1365; $1365 - 136 = 1229$ (đúng).

Đáp số: Số cần tìm là 136.

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Nhóm 1 – Cấu tạo số và giá trị theo vị trí

Bài 1. Viết số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số khác nhau, biết chữ số hàng nghìn là 4.

Bài 2. Tìm số liền sau của số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số.

Bài 3. Một số tự nhiên có ba chữ số, trong đó chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị (chữ số hàng đơn vị khác 0). Tìm số đó.

Nhóm 2 – Dãy số cách đều

Bài 4. Tính tổng của các số chẵn từ 2 đến 100.

Bài 5. Một dãy số cách đều có số hạng đầu là 5, số hạng cuối là 245, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 6. Hỏi dãy số đó có bao nhiêu số hạng?

Bài 6. Tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến 999 mà chia hết cho 3.

Nhóm 3 – Dấu hiệu chia hết

Bài 7. Tìm chữ số $x$ để số $\overline{34x}$ chia hết cho cả 2 và 5.

Bài 8. Tìm các chữ số $x$ , $y$ để số $\overline{x15y}$ (với $x \ne 0$ ) chia hết cho 45.

Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số vừa chia hết cho 4 vừa chia hết cho 25.

Nhóm 4 – Số lớn nhất, số nhỏ nhất và bài toán nâng cao

Bài 10. Cho bốn chữ số 0, 2, 4, 6. Lập số tự nhiên lớn nhất và số tự nhiên nhỏ nhất có đủ bốn chữ số đó (mỗi chữ số dùng một lần).

Bài 11. Lập số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều là số lẻ.

Bài 12. (Nâng cao) Nếu viết thêm chữ số 3 vào bên phải một số tự nhiên có hai chữ số, ta được số mới hơn số đã cho 768 đơn vị. Tìm số tự nhiên đó.

V. ĐÁP SỐ

Bài	Đáp số
1	4987
2	100000
3	421 hoặc 842
4	2550
5	41 số hạng
6	166833
7	$x = 0$ (số 340)
8	$x=3, y=0$ (số 3150) hoặc $x=7, y=5$ (số 7155)
9	1000
10	Lớn nhất: 6420; Nhỏ nhất: 2046
11	13579
12	85

VI. CỦNG CỐ – DẶN DÒ

Với bài "tìm số tự nhiên" dạng $\overline{abc}$ , $\overline{a1b}$ ,...: nên xét dấu hiệu chia hết cho 5 trước (chỉ 2 khả năng cho chữ số tận cùng), rồi mới xét đến chia hết cho 3 hoặc 9.
Các bài chia hết cho 45, 15, 72,... thường có nhiều đáp số (như Ví dụ 4, Bài 8) – cần xét hết các trường hợp, không dừng lại ngay khi tìm được một đáp số.
Khi lập số nhỏ nhất từ các chữ số cho trước có số 0, lỗi hay gặp là đặt 0 lên hàng đầu tiên – hàng cao nhất của một số tự nhiên nhiều chữ số không bao giờ là 0.
Về nhà: luyện thêm dạng "viết thêm/xóa bớt một chữ số" ở các vị trí khác nhau (trái, phải, xen giữa) để thành thạo cách lập biểu thức theo cấu tạo số.

Ghi chú: Nội dung trên do AI biên soạn dựa trên kiến thức phổ thông về chương trình Toán lớp 5 (chuyên đề Số tự nhiên và cấu tạo số), chưa được đối chiếu với một bộ sách giáo khoa/giáo trình cụ thể nào. Giáo viên nên kiểm tra lại mức độ phù hợp của Ví dụ 6 và Bài 12 (dạng "viết thêm chữ số") với trình độ thực tế của học sinh trước khi sử dụng chính thức, vì đây là dạng toán có độ khó cao, thường chỉ xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh lớp 6 chất lượng cao mức nâng cao.