Chuyên đề: Hình học phẳng & Chu vi, diện tích

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC PHẲNG & CHU VI, DIỆN TÍCH

(Toán lớp 5 – Bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 6 chất lượng cao)

I. MỤC TIÊU

Sau chuyên đề, học sinh có thể:

Thuộc và vận dụng chính xác công thức chu vi, diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình tròn; nhớ công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình hộp chữ nhật và hình lập phương.
Nắm vững và sử dụng thành thạo kỹ thuật "hai tam giác chung đường cao – chung đáy" – công cụ quan trọng bậc nhất để giải các bài hình nâng cao trong đề thi chuyên.
Biết cách tính diện tích các hình bị cắt, ghép, phần tô đậm bằng phương pháp cộng/trừ diện tích các hình cơ bản.
Có kỹ năng vẽ hình minh họa (hoặc hình dung sơ đồ) để phân tích đề bài hình học.

II. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Công thức chu vi, diện tích các hình phẳng cơ bản

Hình	Chu vi	Diện tích
Hình vuông (cạnh $a$ )	$P = a \times 4$	$S = a \times a$
Hình chữ nhật (dài $a$ , rộng $b$ )	$P = (a + b) \times 2$	$S = a \times b$
Hình tam giác (đáy $a$ , chiều cao $h$ )	$P = $ tổng 3 cạnh	$S = \dfrac{a \times h}{2}$
Hình thang (đáy lớn $a$ , đáy bé $b$ , chiều cao $h$ )	$P = $ tổng 4 cạnh	$S = \dfrac{(a + b) \times h}{2}$
Hình tròn (bán kính $r$ , đường kính $d$ )	$C = d \times 3,14$	$S = r \times r \times 3,14$

Chú ý quan trọng: $d = r \times 2$ , do đó $C = r \times 2 \times 3,14$ . Khi đề bài cho chu vi, muốn tìm bán kính ta làm ngược lại: $r = C : 3,14 : 2$ .

2. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương (mở rộng)

Hình hộp chữ nhật (dài $a$ , rộng $b$ , cao $c$ ): $S_{xq} = (a + b) \times 2 \times c$ ; $\ S_{tp} = S_{xq} + 2 \times a \times b$ ; $\ V = a \times b \times c$ .
Hình lập phương (cạnh $a$ ): $S_{xq} = a \times a \times 4$ ; $\ S_{tp} = a \times a \times 6$ ; $\ V = a \times a \times a$ .

3. Kỹ thuật "vàng": Tam giác chung đường cao – chung đáy

Kỹ thuật quan trọng nhất để giải các bài toán hình học nâng cao lớp 5, có hai chiều áp dụng:

a) Hai tam giác có chung đường cao (hoặc đường cao bằng nhau) $\Rightarrow$ tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng.

Minh họa: tam giác $ABC$ , điểm $M$ trên cạnh $BC$ . Hai tam giác $ABM$ , $ACM$ chung đỉnh $A$ nên chung đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ :

        A
       /|\
      / | \
     /  |  \
    B---M---C

Khi đó: $\dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \dfrac{BM}{MC}$

b) Hai tam giác có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) $\Rightarrow$ tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.

Ví dụ: hai tam giác cùng có đáy $AB$ , đỉnh còn lại lần lượt là $C$ , $D$ :

\frac{S_{ABC}}{S_{ABD}} = \frac{h_C}{h_D}

với $h_C$ , $h_D$ là khoảng cách từ $C$ , $D$ đến đường thẳng $AB$ .

Hệ quả hay dùng: Nếu $M$ là trung điểm $BC$ thì $S_{ABM} = S_{ACM}$ (vì $BM = MC$ , chung đường cao từ $A$ ). Ngược lại, hai tam giác chung đáy có diện tích bằng nhau thì hai đường cao tương ứng cũng bằng nhau.

4. Tính diện tích hình bị cắt, ghép, phần tô đậm

Nguyên tắc chung: diện tích cần tìm = diện tích hình khung dễ tính $\pm$ diện tích các phần thừa/thiếu (thường là tam giác vuông ở góc). Các bước: (1) chọn hình khung ban đầu tính được ngay diện tích; (2) xác định các phần cần cộng thêm hoặc trừ đi; (3) cộng/trừ để ra kết quả.

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 – Hình chữ nhật: kết hợp nửa chu vi và hiệu hai cạnh

Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 45m, chiều dài hơn chiều rộng 9m. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Bài giải:

Nửa chu vi chính là tổng chiều dài và chiều rộng: chiều dài + chiều rộng $= 45$ m.

Đây là bài toán tổng – hiệu quen thuộc: chiều dài $= (45 + 9) : 2 = 27$ m; chiều rộng $= 45 - 27 = 18$ m.

Diện tích mảnh vườn: $27 \times 18 = 486$ (m²).

Đáp số: $486\ m^2$ .

Ví dụ 2 – Hình tam giác: quan hệ diện tích – đáy – chiều cao

Đề bài: Một tam giác có diện tích $84\ cm^2$ và cạnh đáy dài $14\ cm$ . Nếu giữ nguyên đáy và tăng chiều cao thêm $2\ cm$ thì diện tích tăng thêm bao nhiêu và diện tích mới là bao nhiêu?

Bài giải:

Chiều cao ban đầu: $h = 2 \times S : a = 2 \times 84 : 14 = 12$ (cm).

Khi tăng chiều cao thêm $2$ cm mà giữ nguyên đáy, phần diện tích tăng thêm chính là diện tích một tam giác có đáy $14$ cm và chiều cao $2$ cm:

Diện tích tăng thêm $= 14 \times 2 : 2 = 14$ ( $cm^2$ ).

Diện tích mới $= 84 + 14 = 98$ ( $cm^2$ ).

Đáp số: chiều cao ban đầu $12\ cm$ ; diện tích mới $98\ cm^2$ .

Ví dụ 3 – Hình thang: đáy bé theo tỉ số của đáy lớn

Đề bài: Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn $36$ m, đáy bé bằng $\dfrac{2}{3}$ đáy lớn, chiều cao kém đáy bé $4$ m. Tính diện tích thửa ruộng đó.

Bài giải:

Đáy bé: $36 \times \dfrac{2}{3} = 24$ (m).

Chiều cao: $24 - 4 = 20$ (m).

Diện tích thửa ruộng: $(36 + 24) \times 20 : 2 = 600$ ( $m^2$ ).

Đáp số: $600\ m^2$ .

Ví dụ 4 – Hình tròn nội tiếp hình vuông

Đề bài: Một hình tròn có bán kính $5$ cm được vẽ sao cho tiếp xúc với cả bốn cạnh của một hình vuông (hình tròn "nội tiếp" hình vuông). Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài hình tròn.

Bài giải:

Vì hình tròn tiếp xúc cả 4 cạnh hình vuông nên cạnh hình vuông bằng đường kính hình tròn: cạnh $= 5 \times 2 = 10$ (cm).

Diện tích hình vuông: $10 \times 10 = 100$ ( $cm^2$ ).

Diện tích hình tròn: $5 \times 5 \times 3,14 = 78,5$ ( $cm^2$ ).

Diện tích phần ngoài hình tròn: $100 - 78,5 = 21,5$ ( $cm^2$ ).

Đáp số: $21,5\ cm^2$ .

Ví dụ 5 – Vận dụng kỹ thuật "chung đường cao"

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có diện tích $60\ cm^2$ . Điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = \dfrac{2}{3} MC$ . Tính diện tích tam giác $ABM$ và tam giác $ACM$ .

Bài giải:

Hai tam giác $ABM$ và $ACM$ có chung đỉnh $A$ , hai đáy $BM$ , $MC$ cùng nằm trên đường thẳng $BC$ nên chúng có chung đường cao hạ từ $A$ .

Do đó $\dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \dfrac{BM}{MC} = \dfrac{2}{3}$ .

Coi diện tích tam giác $ABM$ là 2 phần bằng nhau, diện tích tam giác $ACM$ là 3 phần như thế. Tổng số phần: $2 + 3 = 5$ (phần), ứng với $60\ cm^2$ .

$S_{ABM} = 60 : 5 \times 2 = 24$ ( $cm^2$ ); $\quad S_{ACM} = 60 : 5 \times 3 = 36$ ( $cm^2$ ).

Đáp số: $S_{ABM} = 24\ cm^2$ ; $S_{ACM} = 36\ cm^2$ .

Ví dụ 6 (nâng cao) – Diện tích phần tô đậm bằng phương pháp cộng/trừ

Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12$ cm, $AD = 8$ cm (thứ tự các đỉnh theo chiều: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ; $AB$ và $DC$ là hai cạnh dài, $AD$ và $BC$ là hai cạnh ngắn, đối diện nhau). Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ , $N$ là trung điểm cạnh $CD$ . Nối $A$ với $M$ , $A$ với $N$ được tam giác $AMN$ (phần tô đậm). Tính diện tích tam giác $AMN$ .

Bài giải:

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ : $S_{ABCD} = 12 \times 8 = 96$ ( $cm^2$ ).

Tam giác $AMN$ chính là hình chữ nhật $ABCD$ sau khi cắt bỏ 3 tam giác vuông ở ba góc $B$ , $C$ , $D$ . Ta tính từng tam giác:

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $BM = MC = 4$ cm; vì $N$ là trung điểm $DC$ nên $DN = NC = 6$ cm.
Tam giác vuông $ABM$ (góc vuông tại $B$ ): hai cạnh góc vuông $AB = 12$ cm, $BM = 4$ cm. $S_{ABM} = 12 \times 4 : 2 = 24$ ( $cm^2$ ).
Tam giác vuông $MCN$ (góc vuông tại $C$ ): hai cạnh góc vuông $MC = 4$ cm, $CN = 6$ cm. $S_{MCN} = 4 \times 6 : 2 = 12$ ( $cm^2$ ).
Tam giác vuông $NDA$ (góc vuông tại $D$ ): hai cạnh góc vuông $ND = 6$ cm, $DA = 8$ cm. $S_{NDA} = 6 \times 8 : 2 = 24$ ( $cm^2$ ).

Tổng ba tam giác góc: $24 + 12 + 24 = 60$ ( $cm^2$ ).

Diện tích tam giác $AMN$ : $96 - 60 = 36$ ( $cm^2$ ).

Đáp số: $S_{AMN} = 36\ cm^2$ .

Đây chính là dạng bài "phần tô đậm" rất hay gặp trong đề thi vào lớp 6 chất lượng cao: luôn tìm hình khung dễ tính rồi trừ đi các tam giác vuông thừa ở góc.

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Nhóm 1 – Vận dụng công thức cơ bản

Bài 1. Một hình chữ nhật có chu vi $60$ m, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài 2. Một hình vuông có diện tích $121\ cm^2$ . Tính chu vi hình vuông đó.

Bài 3. Một hình tam giác có đáy $25$ cm, chiều cao bằng $\dfrac{2}{5}$ đáy. Tính diện tích tam giác đó.

Bài 4. Một hình tròn có đường kính $20$ cm. Tính chu vi và diện tích hình tròn đó (lấy $3,14$ ).

Nhóm 2 – Kỹ thuật tam giác chung đường cao – chung đáy

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có diện tích $96\ cm^2$ . $M$ là điểm trên $BC$ sao cho $BM = 3 \times MC$ . Tính diện tích tam giác $ABM$ và tam giác $ACM$ .

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ , $D$ là trung điểm cạnh $BC$ . Biết diện tích tam giác $ABD$ là $45\ cm^2$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .

Bài 7. Hai tam giác $ABC$ và $ABD$ có chung đáy $AB$ . Biết chiều cao hạ từ $C$ xuống $AB$ gấp 3 lần chiều cao hạ từ $D$ xuống $AB$ , và diện tích tam giác $ABD$ là $18\ cm^2$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .

Bài 8. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 16$ cm, $AD = 10$ cm. $E$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $AB$ . Tính diện tích tam giác $EDC$ (nối $E$ với $D$ và $C$ ). Vì sao diện tích này không đổi dù $E$ ở vị trí nào trên $AB$ ?

Nhóm 3 – Cắt ghép, tô đậm, tổng hợp nâng cao

Bài 9. Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $18$ m, chiều rộng $12$ m. Người ta đào một cái ao hình vuông cạnh $6$ m ở một góc mảnh đất. Tính diện tích phần đất còn lại.

Bài 10. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $10$ cm. $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Tính diện tích tam giác $DMN$ .

Bài 11. Một bánh xe hình tròn có bán kính $0,5$ m lăn trên mặt đất. Hỏi bánh xe lăn được $100$ vòng thì đi được quãng đường dài bao nhiêu mét?

Bài 12. Một hình tròn có chu vi $18,84$ cm được đặt vừa khít bên trong một hình vuông (hình tròn tiếp xúc cả 4 cạnh hình vuông). Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài hình tròn.

V. ĐÁP SỐ

Bài	Đáp số
1	$200\ m^2$
2	$44\ cm$
3	$125\ cm^2$
4	Chu vi $62,8$ cm; diện tích $314\ cm^2$
5	$S_{ABM} = 72\ cm^2$ ; $S_{ACM} = 24\ cm^2$
6	$90\ cm^2$
7	$54\ cm^2$
8	$80\ cm^2$ (luôn bằng nửa diện tích hình chữ nhật, vì đáy $DC$ cố định và chiều cao từ $E$ xuống $DC$ luôn bằng $AD$ )
9	$180\ m^2$
10	$37,5\ cm^2$
11	$314$ m
12	$7,74\ cm^2$

VI. CỦNG CỐ – DẶN DÒ

Kỹ thuật "chung đường cao $\Rightarrow$ tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy" (và ngược lại "chung đáy $\Rightarrow$ tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường cao") là chìa khóa giải hầu hết bài hình nâng cao trong đề thi chuyên. Luôn vẽ hình rõ ràng, xác định đúng cặp tam giác chung đỉnh hay chung đáy trước khi lập tỉ số.
Sai lầm thường gặp: nhầm giữa "chung đường cao" và "chung đáy"; quên đổi các số liệu về cùng một đơn vị đo trước khi tính.
Với bài tô đậm/cắt ghép: luôn vẽ hình, đặt tên điểm rõ ràng, chọn hình khung dễ tính nhất rồi cộng/trừ hợp lý.
Về nhà: vẽ lại hình cho tất cả bài ở phần IV, trình bày bài giải đầy đủ các bước như phần III.

Ghi chú: Nội dung trên do AI biên soạn dựa trên kiến thức phổ thông về chương trình Toán lớp 5 (chuyên đề Hình học phẳng & Chu vi, diện tích), chưa được đối chiếu với một bộ sách giáo khoa/giáo trình cụ thể nào. Giáo viên nên kiểm tra lại cách diễn đạt ở Bài 8 và Ví dụ 6 (vị trí các đỉnh, chiều nối các điểm) khi trình bày trên lớp để đảm bảo khớp với hình vẽ minh họa thực tế trước khi sử dụng chính thức.